Question

已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，給出下列命題
①α∥β=l⊥m；
②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β；
④l⊥m⇒α∥β．
其中正確命題的序號是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①③
D．②④

Answer 1

【答案】分析：由兩平行平面中的一個和直線垂直，另一個也和平面垂直得直線l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①為真命題；
當直線與平面都和同一平面垂直時，直線與平面可以平行，也可以在平面內，故②為假命題；
由兩平行線中的一條和平面垂直，另一條也和平面垂直得直線m⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得③為真命題；
當直線與平面都和同一平面垂直時，直線與平面可以平行，也可以在平面內，如果直線m在平面α內，則有α和β相交于m，故④為假命題．
解答：解：l⊥平面α且α∥β可以得到直線l⊥平面β，又由直線m?平面β，所以有l⊥m；即①為真命題；
因為直線l⊥平面α且α⊥β可得直線l平行與平面β或在平面β內，又由直線m?平面β，所以l與m，可以平行，相交，異面；故②為假命題；
因為直線l⊥平面α且l∥m可得直線m⊥平面α，又由直線m?平面β可得α⊥β；即③為真命題；
由直線l⊥平面α以及l⊥m可得直線m平行與平面α或在平面α內，又由直線m?平面β得α與β可以平行也可以相交，即④為假命題．
所以真命題為①③．
故選 C．
點評：本題是對空間中直線和平面以及直線和直線位置關系的綜合考查．重點考查課本上的公理，定理以及推論，所以一定要對課本知識掌握熟練，對公理，定理以及推論理解透徹，并會用．