Question

（本小題滿分12分）

已知函數

   （I）當a=1時，求的最小值；

   （II）求證：在區間（0，1）單調遞減。

 

Answer 1

【答案】

解：

（Ⅰ）當a＝1時，f(x)＝－lnx＋x－1，f¢(x)＝－＋1＝．………………2分

當x∈(0，1)時，f¢(x)＜0，f(x)單調遞減；

當x∈(1，＋∞)時，f¢(x)＞0，f(x)單調遞增．

f(x)的最小值為f(1)＝0．…………………………………………………………4分

（Ⅱ）f¢(x)＝(a－1)lnx＋＋1＝(a－1)lnx＋，………6分

若a≥1，當x∈(0，1)時，f¢(x)＜0，f(x)在區間(0，1)單調遞減．

若≤a＜1，由（Ⅰ）知，當x∈(0，1)時，－ln＋－1＞0，即lnx＞，

則f¢(x)＝(a－1)lnx＋＜＋＝≤0，

f(x)在區間(0，1)單調遞減．

綜上，當a≥時，f(x)在區間(0，1)單調遞減．………………………………12分

方法2：f¢(x)＝(a－1) lnx＋＋1＝(a－1)lnx＋，……………6分

因為[f¢(x)]¢＝＋＝a(＋)－≥(＋)－＝＞0，

所以f¢(x)單調遞增，f¢(x)＜f¢(1)＝0，f(x)在區間(0，1)單調遞減．……………12分

 

【解析】略