Question

【題目】已知二次函數(shù)的最小值是1，且.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若，試求的最小值；

（3）若在區(qū)間上，的圖像恒在的圖像上方，試確定實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ； （3）

【解析】

（1）設出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)對稱軸為，，可以得到一個三元一次方程組，最后求出二次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)對稱軸和給定區(qū)間的位置關(guān)系進行分類討論，然后根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)在時的最小值；

（3）根據(jù)題意，原問題等價于在上恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性，可以求出實數(shù)的取值范圍.

（1）設二次函數(shù)的解析式為：，因為，所以的對稱軸為，所以有，

因此函數(shù)的解析式為；

（2）若，則在上單調(diào)遞增，；

若，即，則在上單調(diào)遞減；

；

若，即，則

綜上 .

（3）由題意知，當時，，

即恒成立.

設，

因為當時，單調(diào)遞減，所以，

因此有，得,即實數(shù)的取值范圍是.