Question

在棱長為3的正四面體ABCD中，點E是線段AB上一點，且AE=1，點F是線段AD上一點，且AF=2，則異面直線DE與CF的夾角的余弦為    ．

Answer 1

【答案】分析：在AB上取一點M，使AM=，由于，可得MF∥ED，則∠CFM或其補角，即為異面直線DE與CF的夾角．利用余弦定理求得CF²、MF²、CM² 的值，再在△CFM中，利用余弦定理求得cos∠CFM 得值，再取絕對值，即得所求．
解答：解：∵在棱長為3的正四面體ABCD中，點E是線段AB上一點，且AE=1，點F是線段AD上一點，且AF=2，
在AB上取一點M，使AM=，如圖所示：
由于，∴MF∥ED，則∠CFM或其補角，即為異面直線DE與CF的夾角．
△CDF中，由余弦定理可得 CF²=9+4-2×3×2cos60°=7，△CAM中，由余弦定理可得 CM²=9+-2×3××cos60°=，
△AMF中，由余弦定理可得 MF²=+1-2××1×cos60°=．
在△CFM中，由余弦定理可得CM²==7+-2×××cos∠CFM，解得cos∠CFM=-，
故異面直線DE與CF的夾角的余弦為 ，
故答案為 ．
點評：本題主要考查異面直線所成的角的定義和求法，余弦定理的應用，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．