Question

已知圓C:.

(1)直線過點(diǎn)P(1,2)，且與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若，求直線的方程；

(2)過圓C上一動(dòng)點(diǎn)M作平行于y軸的直線m，設(shè)m與x軸的交點(diǎn)為N，若向量，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

(3) 若點(diǎn)R(1,0)，在（2）的條件下，求的最小值.

Answer 1

(1) 所求直線為3x-4y+5=0或x=1  (2) 點(diǎn)的軌跡方程是  () (3)

解析:

（1）①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，則此時(shí)直線方程為，與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為

和，其距離為，滿足題意                        ………1分

②若直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，即 ………2分

設(shè)圓心到此直線的距離為，則，得∴，，………4分

故所求直線方程為3x-4y+5=0   

綜上所述，所求直線為3x-4y+5=0或x=1                           ……………5分

(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x₀,y₀)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)則N點(diǎn)坐標(biāo)是(x₀, 0)

   ∵，∴  即，    ………7分

又∵，∴                     …………9分

由已知，直線m //oy軸，所以，,

∴點(diǎn)的軌跡方程是  ()                ………………10分

（3）設(shè)Q坐標(biāo)為(x,y)，， ， ………………11分

又  ()可得：

.         ………………13分

         …………14分