Question

（2013•遼寧二模）已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且當x≤0時，f（x）=x²+2x．現已畫出函數f（x）在y軸左側的圖象，如圖所示，并根據
（1）寫出函數f（x）（x∈R）的增區間；
（2）寫出函數f（x）（x∈R）的解析式；
（3）若函數g（x）=f（x）-2ax+2（x∈[1，2]），求函數g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據偶函數的圖象關于y軸對稱，可作出f（x）的圖象，由圖象可得f（x）的單調遞增區間；
（2）令x＞0，則-x＜0，根據條件可得f（-x）=x²-2x，利用函數f（x）是定義在R上的偶函數，可得f（x）=f（-x）=x²-2x，從而可得函數f（x）的解析式；
（3）先求出拋物線對稱軸x=a-1，然后分當a-1≤1時，當1＜a-1≤2時，當a-1＞2時三種情況，根據二次函數的增減性解答．

解答：解：（1）如圖，根據偶函數的圖象關于y軸對稱，可作出f（x）的圖象，（2分），
則f（x）的單調遞增區間為（-1，0），（1，+∞）；（5分）
（2）令x＞0，則-x＜0，∴f（-x）=x²-2x
∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，
∴f（x）=f（-x）=x²-2x
∴解析式為f（x）=

x2+2x，x≤0 x2-2x，x＞0

（10分）
（3）g（x）=x²-2x-2ax+2，對稱軸為x=a+1，
當a+1≤1時，g（1）=1-2a為最小；
當1＜a+1≤2時，g（a+1）=-a²-2a+1為最小；
當a+1＞2時，g（2）=2-4a為最小；
∴g（x）=

1-2a，a≤0 -a2-2a+1，0＜a≤1 2-4a，a＞1

．（16分）

點評：本題考查函數圖象的作法，考查函數解析式的確定與函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．