Question

已知函數f（x）=

1，x為有理數 0，x為無理數

，給出下列三個命題：
①函數f（x）為偶函數；
②存在x_i∈R（i=1，2，3），使得以點（x_i，f（x_i））（i=1，2，3，4）為原點的三角形是等腰直角三角形；
③存在x_i∈R（i=1，2，3），使得以點（x_i，f（x_i））（i=1，2，3，4）為原點的四邊形為菱形．
其中所有真命題的個數是（　　）

• A、無內容
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：①由偶函數的定義進行判斷．
②由解析式做出大致圖象：根據圖象和等腰直角三角形的性質，進行判斷即可；
③取兩個自變量是有理數，使得另外兩個無理數差與兩個有理數的差相等，即可得出此四邊形為平行四邊形．

解答：解：①若x為有理數，則-x也為有理數，∴f（x）=f（-x）=1，
若x為無理數，則-x也為無理數，∴f（x）=f（-x）=0，
綜上有f（x）=f（-x），∴函數f（x）為偶函數，∴①正確．
②根據f（x）=

1，x為有理數 0，x為無理數

，可知：
假設存在等腰直角三角形ABC，則斜邊AB只能在x軸上或在直線y=1上，且斜邊上的高始終是1，
不妨假設A，B在x軸上，如圖
故斜邊AB=2，故點A、B的坐標不可能是無理數，否則O點不再是中點，故不存在．
另外，當AB在y=1上，C在x軸時，由于AB=2，則C的坐標應是有理數，
故假設不成立，即不存在符合題意的等腰直角三角形，②錯誤；
③根據②做出的圖形知，
取兩個自變量是有理數，使得另外兩個無理數差與兩個有理數的差相等，
即可畫出平行四邊形，且是對角線相互垂直，
可以做出以點（x_i，f（x_i））（i=1，2，3，4）為頂點的四邊形為菱形，③正確．
故選：C．

點評：本題主要考查分段函數的應用，考查學生的 推理和想象能力，綜合性較強，難度較大．