Question

 

已知函數（a，b是不同時為零的常數），其導函數為.

（1）當時，若不等式對任意恒成立，求的取值范圍；

（2）若函數為奇函數，且在處的切線垂直于直線，關于x的方程在上有且只有一個實數根，求實數t的取值范圍.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

已知函數（a，b是不同時為零的常數），其導函數為.

（1）當時，若不等式對任意恒成立，求b的取值范圍；

（2）若函數為奇函數，且在處的切線垂直于直線，關于x的方程在上有且只有一個實數根，求實數t的取值范圍.

解：（1）當時，，………１分

依題意　　即恒成立

，解得　

所以b的取值范圍是…………………………………４分

（2）因為為奇函數，所以，所以，.又在處的切線垂直于直線，所以，即.…………………………………………………6分

 

x

在，上是單調遞增函數，在上是單調遞減函數，由解得，，……………………………7分

法一:如圖所示，作與的圖像，若只有一個交點，則

x

①當時，，

y

即，解得；

-1

x

y

O

O

①

-1

②當時，，

解得；

②

③當時，不成立；

-1

x

④

y

④當時，，

 

 

 

 

 

 

x

O

y

即，解得；

⑤當時，，

 

 

 

y

O

解得；

x

⑥當時，.

………………………………………………………………………１３分

綜上t的取值范圍是或或.…………………１４分

法二：由.　　

作與的圖知交點橫坐標為，

當時，過圖象上任意一點向左作平行于軸的直線與都只有唯一交點，當取其它任何值時都有兩個或沒有交點。

所以當時，方程在上有且只有一個實數根.