Question

（（本小題滿分14分）

已知圓,點,點在圓運動,垂直平分線交于點．

（Ⅰ） 求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ） 設是曲線上的兩個不同點,且點在第一象限,點在第三象限,若

,為坐標原點,求直線的斜率；

（Ⅲ）過點且斜率為的動直線交曲線于兩點,在軸上是否存在定點,使以為直徑的圓恒過這個點？若存在,求出的坐標,若不存在,說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解: （Ⅰ） 因為的垂直平分線交 于點．所以

所以動點的軌跡是以點為焦點的橢圓……………3分

設橢圓的標準方程為

則，，則橢圓的標準方程為……5分

（Ⅱ） 設，則     ①

因為，則     ②

由①②解得……………8分

所以直線的斜率……………10分

（Ⅲ）直線方程為，聯立直線和橢圓的方程得:

   得…………11分

由題意知：點在橢圓內部，所以直線與橢圓必交與兩點，

設則

假設在軸上存在定點，滿足題設，則

因為以為直徑的圓恒過點,

則，即:  （*）

因為

則（*）變為…………12分

由假設得對于任意的,恒成立，

即解得．

因此，在軸上存在滿足條件的定點，點的坐標為．………………14分

 

【解析】略