Question

設a，b是方程x²+x•cotθ-cosθ=0的兩個不等的實數根，那么過點A（a，a²）和B（b，b²）的直線與橢圓的位置關系是（ ）
A．相離
B．相切
C．相交
D．隨θ的變化而變化

Answer 1

【答案】分析：由a與b為一元二次方程的兩個不等的實根，利用韋達定理表示出a+b和ab，求出AB的斜率寫出直線AB的方程，由直線AB與坐標軸的交點都在橢圓內可知直線與橢圓相交
解答：解：由題意可得，a+b=-cotθ，ab=-cosθ，且cot²θ+4cosθ＞0
又A（a，a²）、B（b，b²），
得到直線AB的斜率k=a+b，
所以直線l_AB：y-b²=（b+a）（x-b）即y=（b+a）x-ab
∴cotθ x+y-cosθ=0
令x=0，y=cosθ，與y軸交點（0，cosθ）在橢圓內
令y=0，x=-sinθ，與y軸交點（0，sinθ）在橢圓內
直線AB與橢圓x²+=1的位置關系是相交
故選C
點評：此題考查學生靈活運用韋達定理，由兩點確定直線的斜率、直線方程，注意本題的解法可以簡化基本運算