Question

12．已知函數f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0），直線x=x₁，x=x₂是y=f（x）圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{4}$．
（1）求f（x）在[0，π]上的單調遞增區間；
（2）將函數f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長原來的2倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象．對任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式g²（x）-2mg（x）+2m+1＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得函數的最小正周期T，解得ω，可得函數的解析式．利用正弦函數的單調增區間，求得x的范圍，可得函數的增區間．
（2）利用三角函數平移變換，求出函數的解析式，然后利用恒成立轉化成sin²（2x-$\frac{π}{6}$）-2msin（2x-$\frac{π}{6}$）+2m+1＞0恒成立，換元法t=sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]．設函數g（t）=t²-2mt+2m+1，對其對稱軸進行討論．

解答 解：（1）∵函數f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0），直線x=x₁、x=x₂是y=f（x）圖象的兩條對稱軸，
且|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{4}$，
∴函數的最小正周期T=2×$\frac{π}{4}$=$\frac{2π}{2ω}$，解之得ω=2，故f（x）=sin（4x+$\frac{π}{3}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{5π}{24}$≤x≤$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{24}$，
故f（x）在[0，π]上的單調遞增區間為$[0，\frac{π}{24}]，[\frac{7π}{24}，\frac{13π}{24}]，[\frac{19π}{24}，π]$．
（2）將函數f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個單位后，得到y=sin（4x-$\frac{π}{6}$）．再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長原來的2倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象．可得g（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
對任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式g²（x）-2mg（x）+2m+1＞0恒成立，
即：對任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式sin²（2x-$\frac{π}{6}$）-2msin（2x-$\frac{π}{6}$）+2m+1＞0恒成立，
令t=sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]．
上式為：不等式t²-2mt+2m+1＞0，t∈[-$\frac{1}{2}$，1]恒成立．
設g（t）=t²-2mt+2m+1，-$\frac{1}{2}$≤t≤1，
關于t=m對稱，
①當m≤-$\frac{1}{2}$時，g（t）在t∈[-$\frac{1}{2}$，1]上為增函數，
則g（t）_min=g（-$\frac{1}{2}$）=3m+$\frac{5}{4}$＞0，
得m＞-$\frac{5}{12}$，與題設不符，舍；
②當-$\frac{1}{2}$＜m＜1時，g（t）min=g（m）=-m2+2m+1＞0，
得1-$\sqrt{2}$＜m＜1+$\sqrt{2}$，
所以1-$\sqrt{2}$＜m＜1．
③當m≥1時，g（t）在t∈[-$\frac{1}{2}$，1]上為減函數，
則g（t）_min=g（1）=2＞0，成立．
綜上m$＞1-\sqrt{2}$．

點評 本題重點考查了三角公式、同角三角函數基本關系式中的平方關系、二次函數等知識的綜合運用，屬于中檔題，重點考查了分類討論思想在解題中應用，解題關鍵是準確把握討論的“類”，做到不重不漏．