Question

20、如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中
①求證：B′D⊥平面A′C′B；
②求證：B′D與平面A′C′B的交點H是△A′C′B的重心（三角形三條中線的交點）

Answer 1

分析：（1）連接A′B，B′C由正方形AC′得，AD⊥平面A′B，而A′B?平面A′B則AD⊥A′B，因A′B⊥AB′，AD∩AB′=A，根據線面垂直的判定定理可知A′B⊥平面ADB′，而B′D?平面ADB′，則A′B⊥B′D，同理B′C′⊥B′D，A′B∩BC′=B，根據線面垂直的判定定理B′D⊥平面A′BC′；
（2）連接A′H、C′H、C′H，A′B、B′、A′C′均為正方體面對角線則A′B=BC′=A′C′，從而△A′BC′為正三角形，由（1）知B′D⊥平面A′BC′，則A′H=C′H=BH，從而H為△A′BC′的外心，由正三角形五心合一知H也為△A′BC′的重心．

解答：證：（1）連接A′B，B′C由正方形AC′得
AD⊥平面A′B
∵A′B?平面A′B∴AD⊥A′B
∵A′B⊥AB′AD∩AB′=A
∴A′B⊥平面ADB′∵B′D?平面ADB′
∴A′B⊥B′D同理B′C′⊥B′D
∵A′B∩BC′=B∴B′D⊥平面A′BC′
（2）連接A′H、C′H、C′H
∵A′B、B′、A′C′均為正方體面對角線∴A′B=BC′=A′C′
∴△A′BC′為正三角形
由（1）知B′D⊥平面A′BC′∴A′H=C′H=BH，H為△A′BC′的外心
由正三角形五心合一知
H也為△A′BC′的重心．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及三角形五心，同時考查了化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力，屬于中檔題．