Question

設函數f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）
（1）若定義域內存在x₀，使得不等式f（x₀）-m≤0成立，求實數m的最小值；
（2）g（x）=f（x）-x²-x-a在區間[0，3]上恰有兩個不同的零點，求a范圍．

Answer 1

分析：（1）存在x₀，使m≥f（x₀）_min，故f′(x)=2(1+x)-

2

1+x

，由此導出f（x₀）_min=f（0）=1，從而能夠求出實數m的最小值．
（2）由g（x）=f（x）-x²-x-a在區間[0，3]上恰有兩個不同的零點，知x+1-2ln（1+x）=a有兩個交點，令h（x）=x+1-2ln（1+x），h′(x)=1-

2

x+1

=

x-1

x+1

，由此利用函數的單調性能夠求出a的取值范圍．

解答：解：（1）存在x₀，使m≥f（x₀）_min，
∵f（x）=（1+x）²-2ln（1+x），
∴f′(x)=2(1+x)-

2

1+x

=

2x(x+2)

1+x

，x＞-1．
令f′（x）＞0，得x＞0，
令f′（x）＜0，得x＜0，
∴y=f（x）在（-1，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，
∴f（x₀）_min=f（0）=1，
∴m≥1，
∴實數m的最小值是1．
（2）∵g（x）=f（x）-x²-x-a在區間[0，3]上恰有兩個不同的零點，
∴g（x）=x+1-a-2ln（1+x）在區間[0，3]上恰有兩個不同的零點，
∴x+1-2ln（1+x）=a有兩個交點，
令h（x）=x+1-2ln（1+x），
h′(x)=1-

2

x+1

=

x-1

x+1

，
由h′（x）＞0，得x＞1，
由h′（x）＜0，得x＜1，
∴y=f（x）在[0，1]上單調遞減，在[1，3]上單調遞增，
∵h（0）=1-2ln1=1，
h（1）=2-2ln2，
h（3）=4-2ln4，
∴2-2ln2＜a≤1．

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數最值的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．