Question

（1）設函數f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值．
（2）設正數P1，P2，P3，…P2n滿足P1+P2+…P2n=1，求證：P1log2P1+P2log2P2+P3log2P3+…+P2nlog2P2n≥-n．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），令導函數等于0，求出根，判斷根左右的單調性，最終確定極小值就是最小值，從而求得f（x）的最小值；
（2）構造一個函數g（x）=xlog₂x-x+1，利用導數判斷出g（x）在[1，+∞）上是增函數，確定出g（x）≥g（1）=0，即xlog₂x≥x-1，再對其中的x進行取值，構造出所要證明的表達式，利用不等式的性質，即可證明出結論．

解答：（1）解：∵函數f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）（0＜x＜1），
∴f′（x）=log₂x-log₂（1-x），
令f′（x）=0，解得x=

1

2

，
∴當x＜

1

2

時，f′（x）=log₂x-log₂（1-x）＜0，則f（x）在區間（0，

1

2

）上是減函數，
當x＞

1

2

時，f′（x）=log₂x-log₂（1-x）＞0，則f（x）在區間（

1

2

，+∞）上是增函數，
∴f（x）在x=

1

2

處取得最小值，f（

1

2

）=-1，
∴f（x）的最小值為-1．
（2）證明：構造函數g（x）=xlog₂x-x+1，
∴g′（x）=log₂x+

1

ln2

-1，則當x≥1時，log₂x≥1，

1

ln2

-1＞0，
∴當x≥1時，g′（x）＞0，即g（x）在[1，+∞）上是增函數，
∴g（x）≥g（1）=0，即xlog₂x-x+1≥0，
∴xlog₂x≥x-1．
令x=2ⁿP_i，則有2nPilog2(2nPi)≥2ⁿP_i-1，兩邊同除以2ⁿ，可得，Pilog2(2nPi)≥Pi-

1

2n

，
∴P1log2(2nP1)≥P1-

1

2n

，P2log2(2nP2)≥P2-

1

2n

，P3log2(2nP3)≥P3-

1

2n

，…，P2nlog2(2nP2n)≥P2n-

1

2n

，
∴以上式子左右分別相加，可得P1log2(2nP1)+P2log2(2nP2)+…+P2nlog2(2nP2n)≥(P1-

1

2n

)+(P2-

1

2n

)+…+P2n-

1

2n

，
化簡可得，(P1+P2+…+P2n)log22n+P1log2P1+…+P2nlog2P2n≥(P1+P2+…+P2n)-2n•

1

2n

，
∵P1+P2+…P2n=1，
∴log22n+P1log2P1+…+P2nlog2P2n≥0，
∴n+P1log2P1+P2log2P2+P3log2P3+…+P2nlog2P2n≥0，
∴P1log2P1+P2log2P2+P3log2P3+…+P2nlog2P2n≥-n．

點評：本題考查了利用導數求函數的最值問題，同時考查了不等式的證明，關鍵在于如何構造出所要證明的不等式，這是一個難點．屬于難題．