Question

已知數列是首項為，公比的等比數列，設.

（1）求證數列的前n項和；

（2）若對一切正整數n恒成立，求實數m的取值范圍.

 

Answer 1

(1)(2)

【解析】

試題分析：

(1)已知等比數列的首項與公比,根據等比數列的通項公式即可求的數列的通項公式,帶入即可求出數列的通項公式,不難發現,分別為等比數列與等差數列,則利用錯位相減法即可求出的前n項和.

(2)該問題是個恒成立問題,只需要求出數列的最大值,則需要考查該數列的單調性,不妨設對數列的相鄰兩項做差,不難發現數列的第一與第二項相等,從第三項開始單調遞減,則該數列的最大值為,則m滿足,帶入解二次不等式即可求的的取值范圍.

試題解析：

(1)由題意知，，

所以，

故，

所以 3分

所以

于是

兩式相減得

所以 7分

（2）因為

所以當時，,

當,

所以當時，取最大值是,

又,

所以

即 12分

考點：等差數列與等比數列錯位相減法恒成立最值