Question

已知a>0，a≠1，數列{a_n}的首項為a，公比也為a的等比數列，令b_n=a_n·lga_n (n∈N)．

(1) 求數列{b_n}的前n項和S_n；

(2) 當數列{b_n}中的每一項總小于它后面的項時，求a的取值范圍．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1) 由題意得，an= an，bn=n·anlga， Sn=b1+b2+b3+…+bn=(1·a+2·a2+3·a3+…+n·an)lga． aSn=(1·a2+2·a3+3·a4+…+n·an+1)lga． 兩式相減得， (1－a)Sn=(a+a2+a3+…+an－n·an+1) lga ∵ a≠1， ∴ ． (2) 由bk+1－bk=(k+1)ak+1lga－kaklga =aklga[k (a－1)+a] 由題意知bk+1－bk>0，而ak>0． ∴ lga[k (a－1)+a]>0    ① 若a>1，則lga>0，k (a－1)+a>0． ∴ 不等式①顯然成立． 若0<a<1，則lga<0． 故不等式①k (a－1)+a<0恒成立． ∵ k< /span>∈N，∴ ． ∴ 恒成立．