Question

（本小題滿分12分）
如圖，設是橢圓的左焦點，直線為對應的準線，直線與軸交于點，為橢圓的長軸，已知，且．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求證：對于任意的割線，恒有；
（3）求三角形△ABF面積的最大值．

Answer 1

解（1）∵，∴，
又∵，∴，
∴，∴橢圓的標準方程為．     ………（3分）
（2）當的斜率為0時，顯然=0，滿足題意，
當的斜率不為0時，設方程為，
代入橢圓方程整理得：．
，，．
則

，
而
∴，從而．
綜合可知：對于任意的割線，恒有．        ………（8分）
（3），
即：，
當且僅當，即（此時適合于的條件）取到等號．
∴三角形△ABF面積的最大值是．………（12分）

解析