Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足以下條件：①f（1）=2；②當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1；③對(duì)任何x，y∈R都有f（x+y）=f（x）f（y）求證：
（1）f（0）=1；
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，0＜f（x）＜1；
（3）函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）令x=0，y=1，利用條件可得結(jié)論；
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，則f（-x）＞1，利用f（0）=1，可得結(jié)論；
（3）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)x₁＜x₂，證明

f(x1)

f(x2)

＜1，即可得到結(jié)論．

解答：證明：（1）令x=0，y=1，則f（1）=f（1+0）=f（1）f（0）=2f（0）=2
∴f（0）=1；
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，則f（-x）＞1
∴f（0）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x）=1
∴f(x)=

1

f(-x)

∴當(dāng)x＜0時(shí)，0＜f（x）＜1；
（3）設(shè)x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，
∴

f(x1)

f(x2)

=

f[(x1-x2)+x2]

f(x2)

=

f(x1-x2)f(x2)

f(x2)

=f（x₁-x₂）＜1
由（1）知，f（x）＞0，∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)，考查賦值法的運(yùn)用，考查函數(shù)單調(diào)性的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．