Question

（2012•淮南二模）設函數f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R．ab≠0，若f（x）≤|f（

π

6

）|對一切x∈R恒成立，則
①f（

11π

12

）=0；  ②|f（

7π

12

）|＜|f（

π

5

）|；
③函數y=f（x）既不是奇函數也不是偶函數；
④函數y=f（x）的單調遞增區間是：[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）；
⑤經過點（a，b）的所有直線均與函數y=f（x）的圖象相交．
以上結論正確的是

①③⑤

（寫出所有正確結論的編號）．

Answer 1

分析：由輔助角公式，化簡得f（x）=

a2+b2

sin（2x+θ），結合已知不等式得f（

π

6

）是函數的最大或最小值，從而得到
f（x）=

a2+b2

sin（2x+

π

6

+kπ）=±

a2+b2

sin（2x+

π

6

）．再根據三角函數y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質，對各選項逐個加以判斷，可得①③⑤通過證明可得其正確性，而②④存在反例說明它們不正確．

解答：解：f（x）=asin2x+bcos2x=

a2+b2

sin（2x+θ），其中角θ滿足cosθ=

a

a2+b2

，sinθ=

b

a2+b2

∵f（x）≤|f（

π

6

）|對一切x∈R恒成立，
∴f（

π

6

）=

a2+b2

或-

a2+b2

，得2×

π

6

+θ=

π

2

+kπ，k∈Z
因此θ=

π

6

+kπ，k∈Z．f（x）=

a2+b2

sin（2x+

π

6

+kπ）=

a2+b2

sin（2x+

π

6

）或-

a2+b2

sin（2x+

π

6

）
對于①，因為sin（2×

11π

12

+

π

6

）=sin2π=0，所以f（

11π

12

）=±

a2+b2

sin（2×

11π

12

+

π

6

）=0，故①正確；
對于②，|f（

7π

12

）|=|

a2+b2

sin（2×

7π

12

+

π

6

）|=

3

2

a2+b2

∵|f（

π

5

）|=|

a2+b2

sin（2×

π

5

+

π

6

）|=

a2+b2

sin

17π

30

＜

3

2

a2+b2

∴|f（

7π

12

）|＞|f（

π

5

）|，故②不正確；
對于③，根據函數的表達式，得f（-x）≠±f（x），故y=f（x）既不是奇函數也不是偶函數，故③正確；
對于④，因為函數的表達式f（x）=

a2+b2

sin（2x+

π

6

）或-

a2+b2

sin（2x+

π

6

），
表達式不確定，故[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）不一定是增區間，故④不正確；
對于⑤，采用反證法
設經過點（a，b）的一條直線與函數y=f（x）的圖象不相交，則此直線與x軸平行
方程為y=b，且|b|＞

a2+b2

，平方得b²＞a²+b²矛盾，故假設不成立
∴經過點（a，b）的所有直線均與函數y=f（x）的圖象相交．故⑤正確．
故答案為：①③⑤

點評：本題給出符合已知條件的三角函數表達式，叫我們判斷幾個選項的正確性，著重考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質、兩角和與差的三角函數和反證法等知識，屬于中檔題．