Question

已知函數f（x）=

1

2

ax²+（1-a）x-1-lnx，a∈R．
（1）若a=2，求函數的單調減區間．
（2）若函數在區間（3，6）上存在單調遞增區間，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導數，利用導數小于0，可得函數的單調減區間．
（2）求導數，利用導數大于0，結合函數在區間（3，6）上存在單調遞增區間，可求a的取值范圍．

解答：解：（1）函數的定義域為（0，+∞）
a=2時，f′(x)=2x-1-

1

x

=

(x-1)(2x+1)

x

，
∵x＞0，
∴x＞1時，f′（x）＞0，函數單調增；
0＜x＜1時，f′（x）＜0，函數單調減，∴函數的單調減區間為（0，1）；
（2）求導函數可得f′(x)=ax+1-a-

1

x

=

ax2+(1-a)x-1

x

令f′（x）＞0，則∵x＞0，∴（x-1）（ax+1）＞0
∵函數在區間（3，6）上存在單調遞增區間，
∴

2(3a+1)＞0 5(6a+1)＞0

∴a＞-

1

6

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，正確求導是關鍵．