Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，D是CC₁的中點，F是A₁B的中點．
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求證：AF⊥BD．

Answer 1

分析：（1）取AB中點E，連接CE，證明EFDC是平行四邊形，可得DF∥CE，利用線面平行的判定可得結論；
（2）證明AF⊥DF，AF⊥A₁B，利用線面垂直的判定定理可得AF⊥平面A₁BD，從而可得結論．

解答：證明：（1）取AB中點E，連接CE，則
∵F是A₁B的中點，
∴EF∥AA₁，EF=

1

2

AA1
∵D是CC₁的中點，∴EF∥CD，EF=CD
∴EFDC是平行四邊形
∴DF∥CE
∵DF?平面ABC，CE?平面ABC，
∴DF∥平面ABC；
（2）∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，E是AB中點
∴CE⊥平面A₁AB，∴CE⊥AF，
∵DF∥CE，
∴AF⊥DF
∵AB=AA₁，F是A₁B的中點，∴AF⊥A₁B
∵A₁B∩DF=F
∴AF⊥平面A₁BD
∵BD?平面A₁BD
∴AF⊥BD

點評：本題考查線面平行的判定，考查線面垂直的判定與性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．