Question

已知函數，其中是實數，設為該函數的圖象上的兩點，且.

⑴指出函數的單調區間；

⑵若函數的圖象在點處的切線互相垂直，且，求的最小值；

⑶若函數的圖象在點處的切線重合，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1)單調減區間為，單調增區間為;（2）1；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據基本初等函數的性質知，分段函數在時是二次函數的一部分，有兩個單調區間：增區間，減區間，時是對數函數，只有一個單調增區間；（2）對函數圖象來講，它在某點處的切線斜率等于該函數在此點處的導數，故有，由于，兩點在軸的左邊，，因此有，顯然有，可以表示為關于的函數，從而求出最小值（，應用基本不等式即可得解）也可以直接湊配出基本不等式的形式，＝利用基本不等式）；（3）這里我們首先分析所處范圍，結合圖象易知不可能在同一單調區間，只能是，那么我們可得出兩點處的切線方程分別為，，兩條切線相同，則有，于是可把表示為（或者）的函數，把求匠范圍轉化為求函數的值域．

試題解析：（1）單調減區間為，單調增區間為      4分

（2），

當時，因為，所以.      8分

∴

當且僅當時等號成立，

∴的最小值為1.      10分

（3）當或時，，故

當時，函數的圖象在點的切線方程為

即

當時，函數在切線方程為

兩切線重合的充要條件是      13分

由①及知

由①②得

又，與在都為減函數.

∴      16分

考點：（1）單調區間；（2）函數圖象的切線及基本不等式；（3）切線與函數的值域．