Question

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，y軸右側(cè)的一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)（，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q為曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B，C在y軸上，若△QBC為圓（x-1）²+y²=1的外切三角形，求△QBC面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用拋物線的定義，可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)出Q，B，C的坐標(biāo)，利用直線QB是圓的切線，進(jìn)而可表示出△QBC面積，換元，利用基本不等式，即可求△QBC面積的最小值．
解答：解：（Ⅰ）由題知點(diǎn)P到的距離與它到直線的距離相等，
所以點(diǎn)P的軌跡是拋物線，方程為y²=2x…（4分）
（Ⅱ）設(shè)Q（x，y），B（0，b），C（0，c），則即（y-b）x-xy+xb=0
由直線QB是圓的切線知，即
同理∵所以b，c是方程的兩根
∴…（8分）
∴
又，∴
由題知x＞2，∴
令t=x-2，則=≥4+4=8，當(dāng)t=2即x=4時(shí)，取“=”
∴△QBC面積的最小值為8…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．