Question

（09年臨沭縣模塊考試理）（12分）

       如圖，在四棱錐S―ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC=，SA⊥底面

       ABCD，SA=2，M 的為SA的中點，N在線段BC上。

   （Ⅰ）當為何值時，MN∥平面SCD；（說明理由）。

   （Ⅱ）求MD和平面SCD所成角的正弦值。

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）法一：當=時，MN∥平面SCD。                     ????????????????1分

       證明如下：取SB中點E，連線ME，NE                                   ????????????????2分

       則ME∥AB，又∵AB∥CD

       ∴ME∥CD                                                                               ????????????????3分

       又∵NE∥SC                                                                            ????????????????4分

       ∵ME∩NE=E

       ∴平面MNE∥平面SCD                                                           ????????????????5分

       又MN平面MNE

       ∴MN∥平面SCD                                                                     ????????????????6分

       法二：作AP⊥CD于點P（如圖），分別以AB、AP、AS所在直線為x、y、z軸建立空間

       坐標系。

      

A（0，0，0），B（1，0，0），

       P（0，，0），D（，，0），

       S（0，0，2），M（0，0，1），

       C（1，，0），

       設

       ∴（，，0）

       =                                                            ?????????????????3分

                                       ?????????????????4分

       設平面SCD的法向量為，則

      

      

       取，得                                                  ?????????????????5分

       ∵

       ∴=，即N為BC中點時，MN∥平面SCD                      ?????????????????6分

   （Ⅱ）∵                                              ?????????????????7分

       又∵平面SCD的法向量為                                  ?????????????????9分

       ∴                                              ????????????????10分

       ==                                                          ????????????????11分

       ∴MD和平面SCD所成角的正弦值為 ?????????????????12分