Question

某電視生產廠家有A、B兩種型號的電視機參加家電下鄉活動．若廠家投放A、B型號電視機的價值分別為p、q萬元，農民購買電視機獲得相應的補貼分別為

1

10

p，mln（q+1）（m＞0）萬元已知廠家把價值為10萬元的A、B兩種型號的電視機投放市場，且A、B兩種型號的電視機投放金額都不低于1萬元（精確到0.1，參考數據：ln4≈1.4）．
（1）當m=

2

5

時，請你制定一個投放方案，使得在這次活動中農民得到的補貼最多，并求出其最大值；
（2）討論農民得到的補貼隨廠家投放B型號電視機金額的變化而變化的情況．

Answer 1

分析：（1）將m=

2

5

代入到mln（q+1）中得到農民購買B種型號電視機獲得相應的補貼為

2

5

ln（q+1）．然后設出農民得到的補貼為y元，令y′=0，并根據增減性判斷出y有最大值求出即可．
（2）根據題意，考查y=lnx函數的增減性可得答案．

解答：解；（1）當m=

2

5

時，農民購買B種型號電視機獲得相應的補貼為

2

5

ln（q+1）．
設廠家投放市場A、B兩種型號的電視機的價值分別為x萬元，（10-x）萬元，這次活動中農民得到的補貼為y萬元，
則y=

x

10

+

2

5

ln（11-x），
然后令y′=0得：

1

10

-

2

55-5x

=0，
解得：x=7，
∵1＜x＜7時，y′＞0，y是增函數；7＜x＜11時，y′＜0，y是減函數．
∴x=7時，y有最大值，y_max=

7

10

+

2

5

ln4≈1.26萬元；
（2）設投放B型號電視機金額為b，
這次活動中農民得到的補貼為y=

10-b

10

+mln（1+b），
∵1≤b＜10，y=lnx是增函數，
所以投放B型號電視機金額大農民得到的補貼就多．

點評：考查學生利用導數在函數閉區間求最大值問題．