Question

某電視生產廠家有A、B兩種型號的電視機參加家電下鄉活動．若廠家投放A、B型號電視機的價值分別為p、q萬元，農民購買電視機獲得的補貼分別為萬元．已知廠家把總價值為10萬元的A、B兩種型號電視機投放電場，且A、B型號的電視機投放金額不低于1萬元，請你制訂一個投放方案，使得在這次活動中農民得到的補貼最多，并求出最大值（精確到0.1，參考數據：ln4=1.4）

Answer 1

【答案】分析：先設B型號電視機的價值為x萬元（1≤x＜9），農民得到的補貼為y萬元，由題意得，函數y的表達式，再利用導數求出此函數的最大值，從而得到分配方案，求出最大值．
解答：解：設B型號電視機的價值為x萬元（1≤x＜9），農民得到的補貼為y萬元，
則A型號電視機的價值為（10-x）萬元，
由題意得，
y=（10-x）+lnx=lnx-x+1
y′=-
由y′=0得，x=4
當x∈[1，4）時，y′＞0，
當x∈（4，9]時，y′＜0
所以當x=4時，y取最大值，
y_max=ln4-0.4+1≈1.2
即廠家分別投放A、B兩型號電視機6萬元和4萬元時，農民得到補貼最多，最多補貼約1.2萬元．
點評：本小題主要考查根據實際問題建立數學模型，以及運用函數、導數的知識解決實際問題的能力．其中利用導數求函數的最值是解題的關鍵．