Question

在雙曲線＝－1的上支上有不同的三點A(x₁，y₁)、B(x₂，6)、C(x₃，y₃)，與焦點F(0，5)的距離成等差數(shù)列．

(1)求y₁＋y₃的值；

(2)求證：線段AC的垂直平分線經(jīng)過某一定點，并求出定點坐標．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵＝e， 　　∴|PF|＝ey－a．又A、B、C到F的距離成等差數(shù)列，∴2(ey2－a)＝(ey1－a)＋(ey3－a)． 　　∴y1＋y3＝2y2＝12． 　　(2)證明：由題意，得 　�、伲�②，得(y1－y3)(y1＋y3)－(x1－x3)·(x1＋x3)＝0． 　　∴ 　　若x1＋x3＝0． 　　則kAC＝0，y1＝y(tǒng)3＝y(tǒng)2＝6，A、B、C三點共線，這是不可能的． 　　∴x1＋x3≠0．則AC的中垂線方程為y－6＝， 　　即y＝．因此，AC的中垂線過定點(0，)．