Question

（理做）若平面向量

α

，

β

滿足|

α

|=1，|

β

|≤1，且以向量

α

，

β

為邊的三角形的面積為

1

4

，則

α

與

β

的夾角θ的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：根據已知條件及三角形的面積公式可得

1

2

|

α

||

β

|sinθ=

1

2

|

β

|sinθ=

1

4

，從而求得|

β

|=

1

2sinθ

，而根據|

β

|的范圍可求得sinθ的范圍，從而求得θ的范圍．

解答： 解：根據已知條件知：

1

2

|

α

||

β

|sinθ=

1

4

；
∴|

β

|=

1

2sinθ

；
∵0＜|

β

|≤1；
∴0＜

1

2sinθ

≤1；
∴sinθ≥

1

2

；
∵θ∈（0，π）；
∴

π

6

≤θ≤

5π

6

；
∴θ的范圍是[

π

6

，

5π

6

]．
故答案為：[

π

6

，

5π

6

]．

點評：考查三角形的面積公式：S=

1

2

absinθ，以及由函數值的范圍求角的范圍的方法，求θ范圍時可借助正弦函數的圖象．