Question

【題目】M是橢圓T：1（a＞b＞0）上任意一點，F是橢圓T的右焦點，A為左頂點，B為上頂點，O為坐標原點，如下圖所示，已知|MF|的最大值為3，且△MAF面積最大值為3．

（1）求橢圓T的標準方程

（2）求△ABM的面積的最大值S0．若點N（x，y）滿足x∈Z，y∈Z，稱點N為格點．問橢圓T內部是否存在格點G，使得△ABG的面積S∈（6，S0）？若存在，求出G的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2)存在，坐標為（2，﹣1）

【解析】

（1）由橢圓性質可知，由已知條件得，且的最大值為2，即b=2，結合a，b，c的關系可求出橢圓T的方程．

（2）由題知直線AB的方程為，設直線與橢圓T相切于x軸下方的點M0，則△ABM0的面積為△ABM的面積的最大值S0．直線與橢圓聯立求出直線AB與直線l距離為，由此能求出（2，﹣1）為所求格點G．

（1）由橢圓性質可知，

其中c＞0，c2＝a2﹣b2，

因為xM∈[﹣a，a]，故|MF|∈[a﹣c，a+c]，即

又△MAF面積最大值為3．且 ，∴的最大值為2，即b=2，又b2＝a2﹣c2且

解之得

橢圓T的方程為

（2）由題知直線AB的方程為，

設直線與橢圓T相切于x軸下方的點M0，

則△ABM0的面積為△ABM的面積的最大值S0.

此時，直線AB與直線l距離為，

而

而，令，則

設直線到直線AB的距離為，

則有，解得n＝﹣2或6，

注意到l1與直線AB平行且l1需與橢圓T應有公共點，

故只需考慮n＝﹣2的情形．

直線經過橢圓T的下頂點B0（0，﹣2）與右頂點A0，

則線段A0B0上任意一點G0與A、B組成的三角形的面積為6

根據題意若存在滿足題意的格點G，則G必在直線A0B0與l之間．

而在橢圓內部位于四象限的格點為（1，﹣1），（2，﹣1）

因為，故（1，﹣1）在直線A0B0上方，不符題意

而，則點（2，﹣1）在直線A0B0下方，

且，點在橢圓內部，

所以（2，﹣1）為所求格點G．