Question

（本小題滿分13分）對于定義域為D的函數，若同時滿足下列條件：①在D內單調遞增或單調遞減；②存在區間[]，使在[]上的值域為[]；那么把（）叫閉函數。

（1）求閉函數符合條件②的區間[]；

（2）判斷函數是否為閉函數？并說明理由；

（3）判斷函數是否為閉函數？若是閉函數，求實數的取值范圍。

Answer 1

（1）[-1，1] （2）不是閉函數（3）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為在R上單調遞減，根據定義可知解方程就可以了.

（Ⅱ）f（x）不是定義域內的單調函數，不滿足閉函數的定義.

（Ⅲ） 是單調遞增函數，我們可以假設存在區間[a,b],使得解方程

在定義域內有兩不同的根.

試題解析：（1）由題意，在[]上遞減，則解得

所以，所求的區間為[-1，1]

（2）取則，即不是上的減函數。

取，

即不是上的增函數

所以，函數在定義域內不單調遞增或單調遞減，從而該函數不是閉函數。

（3）若是閉函數，則存在區間[]，在區間[]上，函數的值域為[]，即，為方程的兩個實根，

即方程有兩個不等的實根。

當時，有，解得。當時，有，無解。

綜上所述，。

考點：新定義的應用，不等式