Question

a

，

b

是互相垂直的單位向量，向量

c

滿足

a

•

c

=

b

•

c

=1，那么對任意的正實數t，|

c

+t

a

+

1

t

b

|的最小值為（　　）

• A．2
• B．2

  2

• C．4
• D．4

  2

Answer 1

分析：將向量

a

，

b

放入坐標系，利用條件求出坐標，根據向量長度和坐標之間的關系求t即可．

解答：解：∵

a

，

b

是互相垂直的單位向量，
不妨設

a

=(1，0)，

b

=(0，1)，

c

=(x，y)，
則由

a

•

c

=

b

•

c

=1，
得x=y=1，即

c

=(1，1)．
∴

c

+t

a

+

1

t

b

=（1，1）+（t，0）+（0，

1

t

）=（1+t，1+

1

t

），
∴|

c

+t

a

+

1

t

b

|=

(1+t)2+(1+ 1 t )2

 =

2+2(t+ 1 t )+t2+ 1 t2

，
∵t＞0，
∴t+

1

t

≥2，t2+

1

t2

≥2，當且僅當t=1時，取等號，
∴|

c

+t

a

+

1

t

b

|=

2+2(t+ 1 t )+t2+ 1 t2

≥

2+4+2

=

8

=2

2

．
故|

c

+t

a

+

1

t

b

|的最小值為2

2

．
故選：B．

點評：本題主要考查平面向量的應用，利用向量長度與坐標之間的關系進行運算，利用條件將向量

a

，

b

轉化為坐標是解決本題的關鍵．