Question

在△ABC中，已知A（1，4），B（4，1），C（0，-4），若P為△ABC所在平面一動點，則的最小值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：設P的坐標為（x，y），向量、、的坐標關于x、y的坐標形式，從而算出、和關于x、y的表達式，進而得到=3x²+3y²-10x-2y-12，再用配方法結合二次函數求最值的方法，即可算出所求的最小值．
解答：設P（x，y），可得
=（1-x，4-y），=（4-x，1-y），=（-x，-4-y）
∴=（1-x）（4-x）+（4-y）（1-y）=x²+y²-5x-5y+8
=（4-x）（-x）+（1-y）（-4-y）=x²+y²-4x+3y-4
=（1-x）（-x）+（4-y）（-4-y）=x²+y²-x-16
因此，=3x²+3y²-10x-2y-12
∵3x²+3y²-10x-2y-12=3（x-）²+3（y-）²
∴當x=且y=時，的最小值為
故選：C
點評：本題給出△ABC三個頂點的坐標，求平面ABC內的向量數量積之和的最小值，著重考查了平面向量數量積的計算公式和二次函數求最值等知識，屬于中檔題．