Question

【題目】已知拋物線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，斜率為，為何值時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)

（1）只有一個(gè)公共點(diǎn)；

（2）有兩個(gè)公共點(diǎn)；

（3）沒(méi)有公共點(diǎn)?

Answer 1

【答案】（1）或或，（2）且，（3）或

【解析】

首先設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程得到.

（1）將直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程只有一個(gè)根，再討論，再利用判別式求解即可.

（2）將直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有兩個(gè)公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程只有兩個(gè)根，再利用判別式求解即可.

（3）將直線(xiàn)與拋物線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程無(wú)根，再利用判別式求解即可.

設(shè)直線(xiàn)的方程為：，即.

聯(lián)立

（1）因?yàn)橹本�(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，

等價(jià)于方程只有一個(gè)根.

當(dāng)時(shí)，，符合題意.

當(dāng)時(shí)，，

整理得：，解得或.

綜上可得：或或.

（2）因?yàn)橹本�(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)，

等價(jià)于方程只有兩個(gè)根.

所以，，

即，解得且.

（3）因?yàn)橹本�(xiàn)與拋物線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，

等價(jià)于方程無(wú)根.

所以，，

即，解得或.