Question

已知

a

=(4sinx，-2

3

)，

b

=（cosx，cos²x-sin²x）．
（1）若

a

⊥

b

，求x的取值范圍；
（2）f（x）=

a

•

b

+1，當x∈(

π

3

，

5π

6

)時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由題意得

a

•

b

=0，代入

a

、

b

的坐標并化簡可得tan2x=

3

，結合正切函數的圖象與性質可得答案；
（2）利用向量數量積公式和三角恒等變換公式，化簡整理得f（x）=4sin(2x-

π

3

)+1，再由正弦函數的單調性結合x∈(

π

3

，

5π

6

)加以計算，即可得到函數f（x）的值域．

解答：解：（1）由

a

⊥

b

得

a

•

b

=0，即

a

•

b

=4sinx•cosx-2

3

(cosx2-sinx2)=0，
∴2sin2x-2

3

cos2x=0，
即sin2x=

3

cos2x，可得tan2x=

3

，
因此，2x=

π

3

+kπ（k∈Z），
可得x=

kπ

2

+

π

6

．
∴x的取值范圍是{x|x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z}，
（2）f（x）=

a

•

b

+1=4sinx•cosx-2

3

(cosx2-sinx2)+1
=2sin2x-2

3

cos2x+1=4(

1

2

sin2x-

3

2

cos2x)+1=4sin(2x-

π

3

)+1，
∵x∈(

π

3

，

5π

6

)，可得2x-

π

3

∈(

π

3

，

4π

3

)，
∴當2x-

π

3

∈(

π

3

，

π

2

)時，即x∈(

π

3

，

5π

12

)時，函數f（x）為遞增函數，
而x∈[

5π

12

，

5π

6

)時函數f（x）為遞減函數．
由此可得sin(2x-

π

3

)∈(-

3

2

，1]，
∴函數f（x）的值域為(1-2

3

，5]．

點評：本題給出向量含有三角函數式的坐標，求函數f（x）=

a

•

b

+1的值域．著重考查了三角函數的圖象與性質、向量的數量積及其運算性質等知識，屬于中檔題．