Question

在空間四邊形ABCD中，已知AD=1，BC=

3

，且AD⊥BC，對角線BD=

13

2

，AC=

3

2

，AC和BD所成的角是（　　）

• A．

  π

  3

• B．

  π

  4

• C．

  π

  2

• D．

  π

  12

Answer 1

分析：分別取BC、AD、CD、BD、AB中點E、F、G、H、I，連接EF、EG、EI、FG、FI、GH、GI、HI，可得∠FGE、∠GHI（或其補角）分別是AC和BD、AD和BC所成的角．平行四邊形EGFI中，利用平方關(guān)系算出EF=1，從而在△FGE中得到GF²+GE²=EF²，得∠FGE=

π

2

，即得異面直線AC和BD所成的角為

π

2

．

解答：解：分別取BC、AD、CD、BD、AB中點E、F、G、H、I，
連接EF、EG、EI、FG、FI、GH、GI、HI
∵△BCD中，GE是中位線，∴GE∥BD且GE=

1

2

BD
同理可得FI∥BD且FI=

1

2

BD
∴GE∥FI且GE=FI，得四邊形EGFI是平行四邊形
∵FG∥AC，GE∥BD
∴∠FGE（或其補角）是異面直線AC和BD所成的角
同理可得∠GHI（或其補角）是異面直線AD和BC所成的角
∵AD⊥BC，∴∠GHI=90°
∵GH=

1

2

BC=

3

2

，HI=

1

2

AD=

1

2

，∴GI=

GH2+HI2

=1
∵平行四邊形EGFI中，F(xiàn)I=GE=

1

2

BD=

3

4

，F(xiàn)G=EI=

1

2

AC=

13

4

∴EF²+GI²=2（EI²+FI²），得EF²+1=2（

13

16

+

3

16

），解得EF=1
因此，GF²+GE²=1=EF²，可得∠FGE=

π

2

∴異面直線AC和BD所成的角為

π

2

故選：C

點評：本題在空間四邊形ABCD中，已知相對棱的長度和所成角，并且知道對角線長度的情況下求對角線所成角大小，著重考查了空間四邊形的性質(zhì)和異面直線所成角求法等知識，屬于中檔題．