如圖，在四棱錐
中,
底面
,且底面為正方形,
分別為
的中點．
（1）求證:
平面
;
（2）求平面
和平面
的夾角.
（1）詳見解析；（2）
．
解析試題分析：（1）證明直線平面，證明線面平行，首先證明線線平行，可用三角形的中位線平行，也可用平行四邊形的對邊平行，還可以利用面面平行的性質，本題由于
分別為的中點，可得
，
，容易證明平面
平面
，可得直線平面；本題還可用向量法，由于底面,且底面為正方形,可以
為原點,以
分別為
軸，建立空間坐標系，由題意寫出各點的坐標，從而得
，設平面的法向量為
，求出一個法向量，計算出
，即可；（2）求平面和平面的夾角，可用向量法，由（1）解法二可知平面的法向量，由題意可知：
平面
，故向量
是平面
的一個法向量,利用夾角公式即可求出平面和平面的夾角.
試題解析：（1）如圖，以為原點,以為方向向量
建立空間直角坐標系
則
.
. 4分
設平面的法向量為
即
令
, 首發
則
. 4分
又
平面
平面
6分
（2）
底面是正方形,
又
平面 
又
,
平面。 8分
向量是平面的一個法向量,
又由（1）知平面的法向量. 10分
二面角
的平面角為.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，四棱錐
的底面是正方形，側棱
底面
，過
作
垂直
交于
點，作
垂直
交于
點，平面
交
于
點，且
，
.
（1）設點
是
上任一點，試求
的最小值；
（2）求證：、在以
為直徑的圓上；
（3）求平面
與平面所成的銳二面角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝
，AF＝1，M是線段EF的中點．
求證：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知正方形ABCD的邊長為2,AC∩BD=O.將正方形ABCD沿對角線BD折起,使AC=a,得到三棱錐A-BCD,如圖所示.
(1)當a=2時,求證:AO⊥平面BCD.
(2)當二面角A-BD-C的大小為120°時,求二面角A-BC-D的正切值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖甲，△ABC是邊長為6的等邊三角形，E，D分別為AB、AC靠近B、C的三等分點，點G為BC邊的中點．線段AG交線段ED于F點，將△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，連接AB、AC、AG形成如圖乙所示的幾何體。
（1）求證BC⊥平面AFG；
（2）求二面角B－AE－D的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖(1)，四邊形ABCD中，E是BC的中點，DB＝2，DC＝1，BC＝
，AB＝AD＝
.將圖(1)沿直線BD折起，使得二面角ABDC為60°，如圖(2)．
(1)求證：AE⊥平面BDC；
(2)求直線AC與平面ABD所成角的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，四邊形ABEF和四邊形ABCD均是直角梯形，∠FAB＝∠DAB＝90°，AF＝AB＝BC＝2，AD＝1，FA⊥CD.
(1)證明：在平面BCE上，一定存在過點C的直線l與直線DF平行；
(2)求二面角FCDA的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面為正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2，請建立空間直角坐標系解決下列問題．
（1）求證：
；（2）求直線
與平面
所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
三棱柱ABC－A1B1C1在如圖所示的空間直角坐標系中，已知AB＝2，AC＝4，A1A＝3.D是BC的中點．
(1)求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值；
(2)求二面角B1-A1D-C1的正弦值．
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