Question

（本小題滿分13分）已知且，

（1）判斷函數的奇偶性；

(2) 判斷函數的單調性，并證明；

（3）當函數的定義域為時,求使成立的實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）為奇函數；（2）當且時，在上是增函數；（3）。

【解析】本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．

（I）先求得f（x），令x=y=0，有f（0）=0，再令x₁=x，x₂=-x，即f（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數．

（II）在R上任取x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，再比較f（x₁）和f（x₂）的大小，從而得出：f（x）是增函數；

（III）由得，結合上一問單調性得到求解。

解：（1）函數的定義域是,關于原點對稱

又，為奇函數……………4分

（2）函數在上為增函數

設,且，

則

當時，，，

當時，，，

當且時，在上是增函數……………9分

解法2：，當時，，，當時，， 

當且時，在上是增函數……………9分

（3）由得，

 ，……………10分   ……………11分

解得   ……………13分