Question

已知：命題p：函數g（x）的圖象與函數f（x）=1-3x的圖象關于直線y=x對稱，且|g（a）|＜2．命題q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=∅．求實數a的取值范圍，使命題p、q有且只有一個是真命題．

Answer 1

分析：據關于y=x對稱的兩個函數互為反函數求出g（x），解絕對值不等式求出命題p為真命題時a的范圍，根據兩集合的交集為∅時，對集合A分類討論：A=∅時，△＜0；A≠∅時，即方程的根為非正根求出q為真命題時a的范圍；命題p、q有且只有一個是真命題，分類討論求出a的范圍．

解答：解：若命題p是真命題則有
因為f（x）=1-3x，所以g(x)=

1-x

3

由|g（a）|＜2，得|

1-a

3

|＜2，解得-5＜a＜7
若命題q為真命題則有
∵A∩B=∅，且B={x|x＞0}，故集合A應分為A=∅和A≠∅兩種情況
當A=∅時，△=（a+2）²-4＜0，解得-4＜a＜0
當A≠∅時，

△=(a+2)2-4≥0 x1+x2=-(a+2)＜0

解得a≥0
故a＞-4
若p真q假，則-5＜a≤4，
若p假q真，則a≥7
使命題p、q有且只有一個是真命題實數a的取值范圍為（-5，4]∪[7，+∞），

點評：本題考查復合命題的真假與組成其簡單命題的真假的關系．