Question

已知：命題p：“對?x∈[-1，3]，f（x）=x³-12x＞m”；命題q：“函數g（x）=x²-lnx²在[m，0）上是增函數”．若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題．求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：先分別求出命題p，q為真命題時的等價條件，然后利用復合命題的真假關系進行求范圍．

解答：解：∵f（x）=x³-12x，∴f'（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），
當x∈[-1，3]時，f（x）在[-1，2]上遞減，在[2，3]上遞增
∴f（x）在x∈[-1，3]上的最小值為f（2）=-16               …（3分）
∴命題p：“對?x∈[-1，3]，f（x）=x³-12x＞m”為真時，m的取值范圍為m＜-16．…（6分）
又，函數g（x）=x²-lnx²的定義域為{x|x≠0}，且g（x）為偶函數
當x＞0時，g（x）=x²-2lnx，g′(x)=2x-

2

x

=

2x2-2

x

=

2(x2-1)

x

，
當0＜x＜1時，g'（x）＜0   當x＞1時，g'（x）＞0
所以，g（x）=x²-lnx²的單調增區間為[-1，0）和（1，+∞）；     …（8分）
其單調減區間為（-∞，-1]和（0，1]．
∴命題q：“函數g（x）=x²-lnx²在[m，0）上是增函數”為真時，m的取值范圍為-1≤m＜0，…（9分）
而由“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，得p，q中只能是一真一假．           …（10分）
（1）若p真而q假，則m的取值范圍是“m＜-16”且“m＜-1或m≥0”，得m＜-16      …（12分）
（2）若p假而q真，則m的取值范圍是m≥-16且-1≤m＜0，得-1≤m＜0．…（14分）
所以，所求m的取值范圍為m＜-16或m≥-1                      …（15分）

點評：本題主要考查復合命題的真假與簡單命題真假關系的應用，要求熟練掌握．