Question

．設函數， (是實數，為自然對數的底數)

   （1）若在其定義域內為單調函數，求的取值范圍；

   （2）若在上至少存在一點₀，使得成立，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

 

(1) p≥1或p≤0

(2),+∞）

【解析】

（1）∵f’(x)=，要使f(x)為單調增函數，須f’(x)≥0恒成立，即px²-2x+p≥0恒成立，即p≥=恒成立，又≤1，

所以當p≥1時，f(x)在(0,+∞)為單調增函數。

要使f(x)為單調減函數，須f’(x) ≤0恒成立，

即px²-2x+0≤0恒成立，即p≤=恒成立，又＞0，

所以當p≤0時，f(x)在(0,+ ∞)為單調減函數。

綜上所述，f(x)在(0,+∞)為單調函數，p的取值范圍為p≥1或p≤0…（6分）

   （2）因g(x)=在[1，e]上為減函數，所以g(x)∈[2，2e]

①當p≤0時，由（1）知f(x)在[1,e]上遞減f(x)max=f(1)=0＜2，不合題意

②當p≥1時，由（1）知f(x)在[1,e]上遞增，f(1) ＜2，又g(x)在[1,e]上為減函數，故只需f(x)max＞g(x)min，x∈[1,e]，

即：f(e)=p(e-)-2lne＞2p＞.

③當0＜p＜1時，因x-≥0，x∈[1,e]

所以f(x)=p(x-)-2lnx≤(x-)-2lnx≤e--2lne＜2不合題意

綜上，p的取值范圍為（,+∞）……………………………………（12分）