Question

設函數（p是實數，e是自然對數的底數）
（1）若函數f（x）在定義域內不單調，求實數p的取值范圍；
（2）若在[1，e]上至少存在一個x₀，使得f（x₀）＞g（x₀），求實數p的取值范圍．

Answer 1

解：（1），
有條件得，f'（x）=0在（0，+∞）上有解
即在（0，+∞）上有解，∵x＞0，∴，∴0＜p≤1
若當p=1時，≥0，不符條件，所以0＜p＜1
（2）有題意得：f（x）＞g（x）在[1，e]上有解
即在[1，e]上有解
即在[1，e]上有解
記，只需p＞h（x）_min∵，所以在[1，e]是減函數在[1，e]是增函數
所以h（x）在[1，e]是減函數
分析：（1）求出f（x）的導函數，令導函數等于0，在（0，+∞）上有解，分離出p，利用基本不等式求出p的范圍，檢驗p=1是否滿足題意．
（2）將問題轉化為f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，分離出p，構造函數h（x），利用導數求出h（x）的最小值，令p＞h（x）的最小值即得p的范圍．
點評：解決方程有解問題轉化為求函數的值域；解決不等式有解問題，轉化為求函數的最值．