Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝＋bx＋1(a、b為實(shí)數(shù))，F(xiàn)(x)＝

(Ⅰ)若f(－1)＝0，且對任意實(shí)數(shù)均有f(x)≥0成立，求F(x)的表達(dá)式；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，當(dāng)x∈[－2，2]時(shí)，g(x)＝f(x)－kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(Ⅲ)若f(x)是偶函數(shù)，試判斷F(x)的奇偶性．

(Ⅳ)設(shè)mn＜0，m＋n＞0，且f(x)是偶函數(shù)，求證：F(m)＋F(n)＞0．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵f(－1)＝0．∴b＝a＋1 　　由f(x)≥0恒成立，知△＝－4a＝－4a＝≤0 　　∴a＝1，從而f(x)＝＋2x＋1＝ 　　∴ 　　(2)由(1)知，f(x)＝＋2x＋1，∴g(x)＝f(x)－kx＝＋(2－k)x＋1 　　由g(x)在[－2，2]上是單調(diào)函數(shù)，知：≤－2或≥2 　　∴得k≤－2或k≥6 　　(3)∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，而a＞0 　　∴f(x)在(0，＋∞)是增函數(shù) 　　對于F(x)，當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0， 　　F(－x)＝－f(－x)＝－f(x)＝－F(x) 　　x＜0時(shí)，－x＞0， 　　F(－x)＝f(－x)＝f(x)＝－F(x) 　　∴F(x)是奇函數(shù)，且F(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù) 　　由mn＜0，知，m、n異號， 　　當(dāng)m＞0，n＜0時(shí)，由m＞－n＞0知F(m)＞F(－n)＝－F(n) 　　∴F(m)＋F(n)＞0 　　當(dāng)m＜0，n＞0時(shí)，由n＞－m＞0知F(n)＞F(－m)＝－F(m) 　　∴F(m)＋F(n)＞0 　　綜上知：F(m)＋F(n)＞0，