Question

（本題共12分）
已知函數，其中且。
(Ⅰ)討論的單調性；
(Ⅱ)求函數在〔，〕上的最小值和最大值。

Answer 1

(Ⅰ)函數在上單調遞減，在上單調遞增；
(Ⅱ) 當時，在上的最小值為，最大值為；
當時，在上的最小值為，最大值為

本試題主要考查了導數研究函數的最值問題的運用。
（1）因為函數，其中且，求解導數得到，然后對于參數a的范圍結合對數值來分類討論得到結論。
（2）在第一問的基礎上，在單調遞減，在在單調遞增
當時，取得最小值
，進而作差比較大小，得到關于a的函數，結合導數求解得到。
解：(Ⅰ) ，∴ 。
① 當時，，由可得；由可得
在上單調遞減，在上單調遞增。
②當時，，由可得；由可得
在上單調遞減，在上單調遞增。
綜上可得，函數在上單調遞減，在上單調遞增。………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在單調遞減，在在單調遞增
當時，取得最小值
……………………………………………………6分
 ，
設 ，則 。
∵（當且僅當時）∴在上單調遞增．
又∵，
∴①當時，，即，
這時，在上的最大值為；
②當時，，即
這時，在上的最大值為。
綜上，當時，在上的最小值為，最大值為；
當時，在上的最小值為，最大值為…………12分