Question

已知x³+mx²-3x+n=0的三根的平方和為6，且有兩個相等的正根，求m、n．

Answer 1

【答案】分析：由一元三次方程根與系數的關系，我們根據方程有兩個相等的正根，可將方程的三根設為α，β，β，且β＞0，從而得到一個四元方程組，利用乘法公式處理后，即可得到m、n的值．
解答：解：設方程的三根為α，β，β，且β＞0．
由根與系數的關系及題設有
由（4）-2•（2）得α²-αβ=12（5）
（1）式平方得α²+4αβ+4β²=m²（6）
（5）+（6）得2α²+4β²=12+m²．
由（4）得2•6=12+m²，∴m=0．
由（1）得α+2β=0
∴α=-2β代入（4）式可得6β²=6，β=1（∵β＞0，∴β≠-1）．
α=-2．由（3）n=-αβ²=-（-2）•1=2．
故m=0，n=2．
點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，一元n次方程根與系數的關系，難度系數較大，其中利用一元n次方程根與系數的關系，構造四元方程組是解答的關鍵．