Question

已知f（x）=x³+mx²+x+5，存在實數x_o使f′（x_o）=0，又f（x）是R上的增函數，則m的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，-

  3

  ]∪[

  3

  ，+∞)
• B、{-

  3

  ，

  3

  }
• C、（-∞，-

  3

  )∪(

  3

  ，+∞)
• D、[-

  3

  ，

  3

  ]

Answer 1

分析：求出f（x）的導函數，由存在實數x_o使f′（x_o）=0，又f（x）是R上的增函數，得到導函數大于等于0恒成立，根據導函數為開口向上的拋物線可知，根的判別式小于等于0時滿足題意，列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范圍．

解答：解：由f（x）=x³+mx²+x+5，得到f′（x）=3x²+2mx+1，又存在實數x_o使f′（x_o）=0，
因為f（x）是R上的增函數，所以f′（x）=3x²+2mx+1≥0恒成立，
則△=4m²-12≤0，即（m+

3

）（m-

3

）≤0，解得-

3

≤m≤

3

，
所以m的取值范圍是[-

3

，

3

]
故選D

點評：此題考查學生會根據導函數的正負判斷函數的單調性，掌握函數恒成立時所滿足的條件，是一道中檔題．