Question

已知函數f(x)=ax-

1

x

-2lnx．
（I）求f（x）的單調遞增 區間；
（II）a為何值時，函數f（x）在區間[

1

e

，e]上有零點．

Answer 1

分析：（I）求導，令導數大于零，對a分情況討論，根據△的符號，即可求得結論；
（II）函數f（x）在區間[

1

e

，e]上有零點等價于方程f（x）=0在[

1

e

，e]上有實根，分離參數得a=

1

x2

+

2lnx

x

，x∈[

1

e

，e]，轉化為求函數的最值問題，即可求得結論．

解答：解：（I）f′（x）=

ax2-2x+1

x2

(x＞0)
令f′（x）＞0?ax²-2x+1＞0
①若a=0，則0＜x＜

1

2

，f（x）的遞增區間是(0，

1

2

)；
②若a＜0，則△=4-4a＞0
方程ax²-2x+1=0的兩根x1=

1+ 1-a

a

＜0，x2=

1- 1-a

a

＞0，
當0＜x＜

1- 1-a

a

時，＞0
∴f（x）的遞增區間是(0，

1- 1-a

a

]
③若a＞0且△=4-4a＞0，即0＜a＜1時，
方程ax²-2x+1=0的兩根x1=

1- 1-a

a

＞0，x2=

1+ 1-a

a

＞0，
此時f（x）的遞增區間為(0，

1- 1-a

a

]和[

1+ 1-a

a

，+∞)
④若a＞0且△=4-4a≤0即a≥1時f'（x）≥0
此時的遞增區間為（0，+∞）．
（II）問題等價于方程f（x）=0在[

1

e

，e]上有實根，
而f（x）=0?a=

1

x2

+

2lnx

x

，x∈[

1

e

，e]
令g(x)=

1

x2

+

2lnx

x

，x∈[

1

e

，e]g′(x)=

2

x3

(x-xlnx-1)
再令?（x）=x-xlnx-1，則?'（x）=-lnx
當0＜x＜1時，?'（x）＞0，?（x）↗，當x＞1時，?'（x）＜0，?（x）↘
∴當x=1時，?（x）取得唯一的極大值也是?（x）的最大值（?（x））_max=?（1）=0
∴當x∈（0，+∞）時，g'（x）≤0∴g（x）在（0，+∞）上單調遞減
∴當x∈[

1

e

，e]時，g(x)∈[

1

e2

+

2

e

，e2-2e]
故當a∈[

1

e2

+

2

e

，e2-2e]時，函數f（x）在[

1

e

，e]上有零點．

點評：掌握導數與函數單調性的關系，會熟練運用導數解決函數的極值與最值問題．考查了計算能力和分析解決問題的能力，體現了分類討論和轉化的數學思想．