Question

（1）圓C：x²+y²+Dx+Ey+F=0的外部有一點P（x，y），求由點P向圓引切線的長度；
（2）在直線2x+y+3=0上求一點P，使由P向圓x²+y²-4x=0引得的切線長度為最小．

Answer 1

【答案】分析：（1）先把x²+y²+Dx+Ey+F=0，通過配方化為標準方程則，明確圓心和半徑．再利用圓外有一點P（x，y），由點P向圓引切線，切線長、半徑和PO組成直角三角形；再根據勾股定理求出切線長．
（2）已知圓x²+y²-4x=0求出圓心和半徑為．再根據圖形和幾何性質，要在直線2x+y+3=0上求一點P，使由P向圓x²+y²-4x=0引得的切線長度為最小．半徑已定，只需要滿足直線上一點到圓心的距離最小即可．顯然直線上一點P即為，過圓心與直線2x+y+3=0垂直的交點．
解答：解：（1）已知圓C：x²+y²+Dx+Ey+F=0，則，圓心為O為，半徑為；
圓外有一點P（x，y），由點P向圓引切線，切線長、半徑和PO組成直角三角形；
根據勾股定理易得：切線長=
其中PO=
R=；
代入上式化簡為
即為所求．
（2）已知圓x²+y²-4x=0．易得圓心為（2，0），半徑為2．
要在直線2x+y+3=0上求一點P，使由P向圓x²+y²-4x=0引得的切線長度為最小．
半徑已定，只需要滿足直線上一點到圓心的距離最小即可．
顯然直線上一點P即為，過圓心與直線2x+y+3=0垂直的交點．
該直線為：x-2y-2=0
聯立   2x+y+3=0
求得
則該點P為（，）即為所求．
答：（1）圓C：x²+y²+Dx+Ey+F=0的外部有一點P（x，y），點P向圓引切線的長度為
（2）直線2x+y+3=0上一點P為（，）P向圓x²+y²-4x=0引得的切線長度為最小．
點評：（1）圓C：x²+y²+Dx+Ey+F=0的外部有一點P（x，y），點P向圓引切線的長度為，可以把此當結論記住． （2）解決直線與圓的相關問題，盡量充分利用直線與圓的相關幾何性質加以解決．