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已知曲線C₁：，曲線C₂：．

（1）指出C₁，C₂各是什么曲線，并說明C₁與C₂公共點的個數；
（2）若把C₁，C₂上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線，．寫出，的參數方程．與公共點的個數和C₁與C₂公共點的個數是否相同？說明你的理由．

解：（Ⅰ）是圓，是直線．（2分）
的普通方程為，圓心，半徑．
的普通方程為．
因為圓心到直線的距離為，
所以與只有一個公共點．························ 4分
（Ⅱ）壓縮后的參數方程分別為
：（為參數）：（t為參數）······· 8分
化為普通方程為：：，：，
聯立消元得，
其判別式，
所以壓縮后的直線與橢圓仍然只有一個公共點，和與公共點個數相同． 10分

解析

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知曲線C1：

|x|

|y|

=1(a＞b＞0)所圍成的封閉圖形的面積為4

，曲線C₁的內切圓半徑為

．記C₂為以曲線C₁與坐標軸的交點為頂點的橢圓．
（Ⅰ）求橢圓C₂的標準方程；
（Ⅱ）設AB是過橢圓C₂中心的任意弦，l是線段AB的垂直平分線．M是l上異于橢圓中心的點．
（1）若|MO|=λ|OA|（O為坐標原點），當點A在橢圓C₂上運動時，求點M的軌跡方程；
（2）若M是l與橢圓C₂的交點，求△AMB的面積的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知曲線C₁的參數方程為

x=2sinθ

y=cosθ

（θ為參數），曲線C₂的參數方程為

x=2t

y=t+1

（t為參數）．
（1）若將曲線C₁與C₂上各點的橫坐標都縮短為原來的一半，分別得到曲線C₁′和C₂′，求出曲線C₁′和C₂′的普通方程；
（2）以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，求過極點且與C₂′垂直的直線的極坐標方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數g₁（x）=lnx，g₂（x）=

ax²+（1-a）x（a∈R且a≠0）．
（1）設f（x）=g₁（x）-g₂（x），求函數f（x）的單調區間；
（2）設函數g₁（x）的圖象曲線C₁與函數g₂（x）的圖象c₂交于的不同兩點A、B，過線段AB的中點作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N．證明：C₁在M處的切線與C₂在N處的切線不平行．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）選修4-2：矩陣與變換
若矩陣A有特征值λ₁=2，λ₂=-1，它們所對應的特征向量分別為e1=

和e2=

．
（I）求矩陣A；
（II）求曲線x²+y²=1在矩陣A的變換下得到的新曲線方程．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線C₁的參數方程為

x=2sinθ

y=cosθ

(θ為參數），C₂的參數方程為

x=2t

y=t+1

(t為參數）
（I）若將曲線C₁與C₂上所有點的橫坐標都縮短為原來的一半（縱坐標不變），分別得到曲線C′₁和C′₂，求出曲線C′₁和C′₂的普通方程；
（II）以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，求過極點且與C′₂垂直的直線的極坐標方程．
（3）選修4-5：不等式選講
設函數f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求關于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若g(x)=

f(x)+m

的定義域為R，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線C₁的極坐標方程為ρ=4sinθ，曲線C₂的極坐標方程為θ=

(ρ∈R)，曲線C₁，C₂相交于點M，N．
（1）將曲線C₁，C₂的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）求線段MN的長．

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