Question

已知函數g₁（x）=lnx，g₂（x）=

1

2

ax²+（1-a）x（a∈R且a≠0）．
（1）設f（x）=g₁（x）-g₂（x），求函數f（x）的單調區間；
（2）設函數g₁（x）的圖象曲線C₁與函數g₂（x）的圖象c₂交于的不同兩點A、B，過線段AB的中點作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N．證明：C₁在M處的切線與C₂在N處的切線不平行．

Answer 1

分析：（1）依題意，f（x）=lnx-

1

2

ax²+（a-1）x，f′（x）=-

a(x-1)(x+ 1 a )

x

，對a分a＞0，a=0與a＜0，三類討論，對a＜0再根據1與-

1

a

的大小關系分三類討論即可求得答案；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且不妨設0＜x₁＜x₂，則lnx₁-lnx₂=[

1

2

a（x₁+x₂）+1-a]（x₁-x₂），假設C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平線，則有

2

x1+x2

=

1

2

a（x₁+x₂）+1-a，與前式聯立可得：

lnx2-lnx1

x2-x1

=

2

x1+x2

，設

x2

x1

=t，（t＞1），則lnt+

4

t+1

=2，構造函數g（t）=lnt+

4

t+1

，可判斷g（t）在（1，+∞）上遞增，g（t）＞2恒成立．從而可證明C₁在M處的切線與C₂在N處的切線不平行．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx-

1

2

ax²+（a-1）x
∴函數f（x）的定義域是（0，+∞）…（1分）
由已知得f′（x）=

1

x

-ax+a-1=-

a(x-1)(x+ 1 a )

x

，…（2分）
①當a＞0時，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1； 令f′（x）＜0，，解得x＞1．
∴函數f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減…（3分）
②當a＜0，時
①當-

1

a

＜1時，即a＜-1時，令f′（x）＞0，解得0＜x＜-

1

a

或x＞1；
令f′（x）＜0，解得-

1

a

＜x＜1．
∴函數f（x）在（0，-

1

a

）和（1，+∞）上單調遞增，在（-

1

a

，1）上單調遞減…（4分）
②當-

1

a

=1時，即a=-1時，顯然，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增…（5分）
③當-

1

a

＞1時，即-1＜a＜0時，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1或x＞-

1

a

；
令f′（x）＜0，解得1＜x＜-

1

a

．
∴函數f（x）在（0，1）和（-

1

a

，+∞）上單調遞增，（1，-

1

a

）上單調遞減…（6分）
綜上所述，（1）當a＞0時，函數f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減；
（2）當a＜-1時，函數f（x）在（0，-

1

a

）和（1，+∞）上單調遞增，在（-

1

a

，1）上單調遞減；
（3）當a=-1時，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（4）當-1＜a＜0時，函數f（x）在（0，1）和（-

1

a

，+∞）上單調遞增，（1，-

1

a

）上單調遞減…（7分）
（2）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且不妨設0＜x₁＜x₂，則
y₁=lnx₁=

1

2

ax12+（1-a）x₁…①
y₂=lnx₂=

1

2

ax22+（1-a）x₂…②
由①-②得：lnx₁-lnx₂=[

1

2

a（x₁+x₂）+1-a]（x₁-x₂）…③
假設C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平線，則有

2

x1+x2

=

1

2

a（x₁+x₂）+1-a，
代入（3）化簡可得：

lnx2-lnx1

x2-x1

=

2

x1+x2

，
即ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x2+x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

，
設

x2

x1

=t，（t＞1），上式化為：lnt=

2(t-1)

t+1

=2-

4

t+1

，…（11分）
即lnt+

4

t+1

=2…（12分）
令g（t）=lnt+

4

t+1

，g′（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

，
∵t＞1，顯然g′（t）＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上遞增，
顯然有g（t）＞2恒成立．
∴在（1，+∞）內不存在，使得lnt+

4

t+1

=2成立．
綜上所述，假設不成立．
∴C₁在M處的切線與C₂在N處的切線不平線…（14分）

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查分類討論思想與轉化思想，方程思想的綜合運用，考查反證法，屬于難題．