Question

已知函數f（x）=e^x+2x²-3x．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求證函數f（x）在區間[0，1]上存在唯一的極值點；
（3）當時，若關于x的不等式恒成立，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數f（x）在x=1處的導數得到切線的斜率，然后求出切點坐標，利用點斜式方程表示出切線方程即可；
（2）先求f′（0）與f′（1），看兩值是否異號，然后證明f′（x）在[0，1]上單調性，即可證明函數f（x）在區間[0，1]上存在唯一的極值點；
（3）將參數a分離出來，得到在[，+∞）上恒成立，然后利用導數研究不等式右邊的函數在[，+∞）上的最小值即可．
解答：解：（1）f′（x）=e^x+4x-3，則f'（1）=e+1，
又f（1）=e-1，∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-e+1=（e+1）（x-1），
即（e+1）x-y-2=0；

（2）∵f′（0）=e-3=-2＜0，f′（1）=e+1＞0，
∴f′（0）•f′（1）＜0，
令h（x）=f′（x）=e^x+4x-3，則h′（x）=e^x+4＞0，
∴f′（x）在[0，1]上單調遞增，∴f′（x）在[0，1]上存在唯一零點，
∴f（x）在[0，1]上存在唯一的極值點

（3）由，
得，
即，
∵，∴，
令，則，
令，則ϕ'（x）=x（e^x-1）
∵，∴ϕ'（x）＞0，∴ϕ（x）在上單調遞增，
∴，
因此g'（x）＞0，故g（x）在上單調遞增，
則．
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及函數恒成立問題等基礎題知識，考查運算求解能力、推理論證能力，化歸與轉化思想，屬于基礎題．